Métodos Iterativos de punto fijo

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Ejercicios resueltos.

Métodos Iterativos I. Métodos iterativos de punto fijo.

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Métodos Iterativos I. Métodos iterativos de punto fijo.
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Veremos los métodos iterativos de punto fijo y calcularemos los ceros de una función. Dada una función definida en un intervalo, queremos saber si en ese intervalo ella tiene ceros (existencia) y si es así, si el cero es único (unicidad).
Las funciones h reciben el nombre de funciones iterativas. Nuestro interés en las funciones iterativas se debe a que los puntos fijos de las h son los mismos que los ceros de la f(x).

¿Una h de iteración puede converger a todos sus ceros con diferentes puntos de inicio?

Vamos a ver que el proceso iterativo que genera una función de iteración h, continua, será convergente a un cero de f(x) si se cumplen 2 condiciones:

1 ) |h’| < 1 en el intervalo [a, b] donde hay un cero de f(x).

2) h(x): [a, b]→ [a, b]

Teorema (De existencia y unicidad de puntos fijos). Sea h: [a, b] → [a, b] una función continua. Entonces,

  • 1 ) h tiene, al menos, un punto fijo en [a, b].
  • 2 ) Si, además, h es contractiva* en [a, b], el punto fijo es único, y toda sucesión de iterados generada a partir de cualquier punto de [a, b] converge a ese punto fijo.

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